準備
(なし)
デザイン
1. フォーム (Form1) にボタン (button1) を配置します。
サンプルコード (C#)
// 名前空間の追加
using System.Net;
// コード
private void button1_Click(object sender, EventArgs e)
{
string sAddress = "http://twitter-badges.s3.amazonaws.com/ja_follow_me-a.png";
string sFileName = @"D:\test.png";
WebClient wc = new WebClient();
wc.DownloadFile(sAddress, sFileName);
}
解説

動作確認環境
Visual Studio 2015 Professional (C# 6.0)